معادلات دیفرانسیل یکی از مباحث بسیار مهم در ریاضیات است. معادلات دیفرانسیل در مدل سازی اکثر پدیده ها در فیزیکی، مهندسی پزشکی، علوم اقتصادی، ریاضیات و غیره ظاهرمی شوند. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم از اهمیت ویژه ای برخوردارند، زیرا مدل سازی بسیاری از پدیده های فیزیکی مانند مسأله حرکت، که شامل مسافت، سرعت و شتاب است، به معادله دیفرانسیل معمولͬ یا معادلات با مشتقات جزئͬ مرتبه دوم منجر می شوند. مسأله اشتورم‐لیوویل که به مسأله مقدار ویژه نیز معروف است، یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با پارامتر مقدار ویژه است. نظریه اشتورم‐لیوویل را از چندین دیدگاه می توان مورد مطالعه قرار داد. دیدگاه اول که شامل به دست آوردن جواب دقیق، جواب تقریبی به کمک روش های عددی، تحلیل معادله، محاسبه مقادیر ویژه و توابع ویژه مسأله است که در این حالت آن را مسأله اشتورم‐لیوویل مستقیم می نامیم. دیدگاه دوم بررسی وجود، منحصربفردی و بازسازی تابع پتانسیل با استفاده از خواص طیف ها، بعضی خواص توابع ویژه (مانند ثابت نرمالیزه توابع ویژه) و یا استفاده از معلوم بودن تابع پتانسیل در قسمتی از بازه تعریف شده است که به مسأله معکوس اشتورم‐لیوویل موسوم است. البته دیدگاه سومی هم در این نوع مسائل وجود دارد که منجر به مسائل اشتورم‐لیوویل شبه طیف می شود، و در این کتاب به این موضوع پرداخته نمی شود. در این کتاب مسأله اشتورم‐لیوویل (مستقیم و معکوس) با چندین حالت مختلف برای شرایط مرزی و انتقال مورد مطالعه قرار می گیرد. مشتق تطبیق پذیر، که در سال ٢٠١۴ توسط خلیل و همͺارانش ارائه شد، را معرفی کنیم، به مطالعه خواص و ویژگی های جالب این مشتق پرداخته و با استفاده از آن، مسأله اشتورم‐لیوویل تطبیق پذیر را معرفی می کنیم. در ادامه خواص عملگر اشتورم‐لیوویل، خواص مقادیر ویژه، توابع ویژه و رفتار طیف ها را مطالعه می کنیم و به مطالعه مسائل معکوس اشتورم‐لیوویل تطبیق پذیر با به کارگیری شرایط مرزی روبین و وابسته به پارامتر با شرایط انتقال درون بازه متناهͬ مͬ پردازیم.
