| چکیده
|
پیشگفتار
خداوند بزرگ و مهربان را سپاسگزارم که عنایت فرمود تا تهیه این کتاب به پایان برسد. این اثر حاصل مطالعه و تدریس چندین ساله و ارائه مقالات متعدد در مجلات معتبر بین المللی می باشد. در این کتاب به بررسی و تجزیه و تحلیل روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی از مرتبه های اول و دوم می پردازیم. اهمیت آشنایی با معادلات دیفرانسیل و حل آنها بر کسی پوشیده نیست زیرا حرکت اشیاء فیزیکی و یا روند واکنش های شیمیایی اغلب توسط دستگاهی از معادلات دیفرانسیل معمولی، ODEs ، مرتبه اول بیان می شوند. با توجه به اینکه بسیاری از معادلات دیفرانسیل به-صورت تحلیلی قابل حل نیستند بنابراین، در اینگونه مواقع به یک تقریب مناسب از جواب بسنده می کنیم. مفهوم سختی در یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل سخت که یک مفهوم کیفی است، به یک تفاوت وسیع در مقیاسهای زمانی مولفه جواب اشاره دارد. دستگاههای ODE سخت در تعداد زیادی از کاربردها مطرح می شوند، به عنوان مثال در اجرای فرآیندهای شیمیایی، چون یک اختلال بزرگ در مقیاس های زمانی برای رخ داد تغییرات فیزیکی و شیمیایی می تواند وجود داشته باشد. در نظریه مدارهای الکتریکی نیز مسائل سخت مطرح می شوند، زیرا پالس ها (یا ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت ﻣﯿﺮا) ﺑﺎ ﻣﻘﯿﺎسﻫﺎی زﻣﺎنی از ﻣﺮﺗﺒﻪ یک میکروثانیه، می توانند بر رفتار عموماً هموار یک مدار تحمیل شوند. حل این گونه مسائل توجه بسیاری از متخصصین آنالیز عددی را به خود جلب کرده است. تلاش ها برای بکارگیری روش-های رانگ-کوتای صریح و روش های چندگامی خطی برای حل دستگاههای ODE سخت با پیچیدگی های قابل توجهی مواجهه شدند. به خاطر کوچک بودن ناحیه پایداری مطلق، طول گام استفاده شده بر کل بازه حل می بایست بسیار کوچک باشد. علاوه براین، وقتی که روش های عددی صریح کلاسیک برای حل دستگاههای ODE سخت به کار می روند، اندازه طول گام در جاهایی که تغییرات جواب سریع و آنجایی که تغییرات کند است، یکسان می باشد. این روند کارآ نیست و هزینه های محاسباتی زیادی ایجاد می کند. در رابطه با مساله سخت، تقاضا برای روش های عددی موثر جدید برای دستگاههای ODE بیشتر شد. در کار انجام شده توسط دالکوئیست در سال 1963، که در آن A-پایداری روش های عددی بعنوان یک نظریه جدید معرفی شد، حرکتی روبه جلو در ساخت چنین روش هایی ایجاد شد.
روش های A-پایدار برای حل دستگاههای ODE سخت موثر هستند، زیرا خاصیت
|